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jueves, 2 de septiembre de 2010

Resolución de Problemas

Para la resolucion de tales problemas, primero se escribe la ley de variacion correspondiente en forma de una ecuacion que contenga la constante de proporcionalidad k. Luego se determina el valor de k usando los datos, obteniendose, asi una relacion con la que se pueda calcular la cantidad que se busca.

Ejemplo 1.  w es directamente proporcional a x y al cuadrado de y y es inversamente proporcional al cubo de z. Si w = 8 cuando x= 2, y =6, y z = 3, calcular w cuando x = 5,  y = 4, z=2.

Solucion.  Primeramente  escribiremos el tipo dado de variacion en forma de ecuacion
                                                                2
                                                        k x y
      (1)                                    w =  _____  ,
                                                               3
                                                            z

en donde k es la constante de proporcionalidad que es lo primero que hay que calcular. Sustituyendo en esta ecuacion los valores dados de w,x, y y z, tenemos
                                                                       2
                                                         (k) (2) (6 )
                                                8   =  ________
                                                                 3
                                                               3

de donde k = 3. La relacion (1) se `puede escribir ahora en la forma
                                                                  2
                                                          3 x y
                                               w  =   _____   .
                                                              3
                                                            z

Por tanto, para x = 5, y = 4 y z = 2, tenemos
                                                                     2
                                                       (3) (5) (4 )
                                              w =  __________ = 30.
                                                               3
                                                             2
                                                

En los problemas de variacion proporcional generalmente es util calcular la constante de proporcionalidad  a fin de obtener una formula que sirva para obtener valores numericos. Sin embargo, en algunos casos la constante no se pide o no se puede obtener. Esto sucede, por ejemplo, si solamente se desea saber el efecto que tiene sobre una variable el cambio de otras variables.

Ejemplo 2.  La resistencia electrica R de una alamabre de seccion transversal circular es directamente proporcional a la longitud L e inversamente proporcional al cuadrado del diametro d del alambre. Calcular el procentaje de variacion en la resistencia de un alambre dado si la longitud aumenta un 40 por ciento y el diametro un 30 por ciento.

Solucion. La ley de variacion queda expresada por
                                                  k L
       (2)                            R =     ___ ,
                                                     2
                                                   d

en donde la constante de proporcionalidad k depende de la naturaleza del material del alambre.

Llamemos R1 al valor de R, que se obtiene al sustituir L por 1.4L  y d por 1.3d. Sustituyendo estos nuevos valores en (2) resulta

                                                       k (1.4L )
(3)                                      R 1   =   _______ ,
                                                                    2
                                                        ( 1.3d )

en donde k tiene el mismo valor que en (2).
 De (3) y (4) obtenemos

                                                              2
                                      R 1         1.4 Ld           1.4
                                     __    =    ______    =   ___  =  0.828 ,
                                                              2
                                     R            1.69 d  L         1.69

de donde R1 = 0.828 R, es decir, la resistencia decrece en un 17.2 por ciento, independientemente del material del alambre.

Propiedades

En el siguiente ejercicio demostraremos cada una de las propiedades de las proporciones si tanto X 1  como X 2  son distintas de cero.

                   Y 1          Y 2
            Si     -      =     - ,   entonces Y 1  X 2  =   X 1   Y 2
                   X 1          X 2


                                            Y 1             Y 2
Solución :           -      =      -
                          X  1           X  2




                Propiedad multiplicativa de igualdad :


                                    (Y 1 )                           Y 2                    
                ( X 1  X 2 )   ( -   )    =  ( X 1  X 2 )    -                         
                                    ( X 1 )                          X 2                            






                Propiedad conmutativa y asociativa:
                                  ( X 1  )                       (  X 2 )                 
                  Y 1  X 2    (   -    )    =  X 12   (   -    )
                                 (  X 1  )                       (  X 2 )                






                                   Propiedad multiplicativa del 1 :
                                    R =  Y1  X 2  =  X 1  Y 2                             

miércoles, 1 de septiembre de 2010

Proporción

Dadas dos razones diremos que estan en proporcion si
                                                a          c
                                                -    =    -
                                                b         d
Los terminos a y d se denominan extremos mientras que b y c son los medios.

Ejemplo:
Si una pareja ordenada de una variación directa es (X1, Y1) y otra pareja de la misma función es (X2 , Y2 ), entonces

            Y1                             Y 2                                    Y1             Y2
            -    =  k                      -  =  k            o                  -       =       -    
            X1                             X 2                                    X1             X2

Tal igualdad de razones se llama una proporción y se puede leer Y1 es a X1 como Y 2 es a X 2.  En esta proporción X 1 y Y 2 se llaman medios y Y 2 y X 1 se llaman los extremos. Puesto que X 1 Y 2  = X 2 Y 1,
en cualquier proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Ejemplo.

Un peso de 15 g. alarga un resorte 5 cm. ¿Que peso lo alarga 12 cm, si la elongacion es directamente proporcional al peso

Solución 1 :   Sea E = elongacion en centímetros
                     y W eso en gramos

                     E 1           E 2
                     -     =      - ;    E 1 =5,  W1 = 15,  E2 =12
                     W 1         W 2

                     5            12
                     -      =      -
                    15           W2



                     5W 2   = 180
                     W   2  = 36           


Solución 2:     E  1   =   k W 1                  E   = k W 2
                                                                      1
                      5   =  k (15)                    12 =  -  W 2
                                                                      3
                       1
                       -  =  k                            36   =  W 2

Comprobacion:    5         1          12            1
                           -    =    -,          -      =     -
                          15        3           36           3

                         1           1
                         -     =    -
                         3           3

                                               R= Se necesita un peso de 36 gramos.
                  

Ejemplos

 Mientras una variable independiente incremente..............también lo ará una variable independiente de la anterior: si "y = x"   y luego "x" incrementa entonces "y" también incrementará.
Por ejemplo el agua, mientras máz azucar le pongas mas dulce sabrá.........esto quiere decir que incrementar uno hace que el otro también incremente. Tambien por ejemplo si caminas menos te cansas menos........entocnes disminuir una cosa hace que también la otra diminuya. ESAS SON VARIACIONES PROPORCIONALES

Un ejemplo en geometría sencillo es la relación entre el área de un triángulo y su base y su altura. El área es directamente proporcional a la base, cuando la altura permanece constante, y es directamente proporcional a la altura cuando la base permanece constante, y en consecuencia el área es directamente proporcional al producto de la base por la altura.

Un ejemplo en física,  es la relación que existe entre el volumen V, la presión P y la temperatura absoluta T de una masa determinada de un gas perfecto. El volumen V es directamente proporcional a T, cuando P permanece constante, y es inversamente proporcional a P cuando T permanece constante. Por tanto, de
                                                 
 acuerdo con el corolario, V= R  T/P  , formula que se acostumbra escribir PV = RT en donde es la constante de proporcionalidad.

El siguiente ejemplo muestra una de tabla de velocidad v de una piedra que cae libremente durante
                                 v
t  segundos. La razon - = 4.9, o bien, v= 4.9t. Tal formula describe una variacion directa.




                                 t

Definiciones

Una variación directa es una función donde la razón entre un numero y del contra dominio y el correspondiente numero x del dominio, es la misma para todas las parejas de la función.
La variación puede definirse precisamente con una variable representada como función de una o mas variables. Por ejemplo "la distancia varía directamente con el tiempo".

Se dice que la variable y es directamente proporcional a la variable x si la razón de dos valores correspondientes cualesquiera de y y x es constante, es decir, si y / x= k, o sea, si

y = kx,
en donde la constante k se llama constante de proporcionalidad o constante de variación.

Ejemplo. La longitud C de una circunferencia es directamente proporcional al radio r; ya que C = 2 (pi)r en donde 2 (pi) es la constante de proporcionalidad.

Se dice que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si y es directamente proporcional al recíproco de x. En este caso escribimos

                                                              y = k
                                                                    - ,  
                                                                    x
siendo k la constante de proporcionalidad.